تعريف المتتالية العددية:

المتتالية العددية هي مجموعة من الأعداد المرتبة وفقًا لقاعدة معينة. يمكن أن تكون هذه الأعداد محدودة العدد (عدد معين من الحدود) أو غير محدودة العدد (عدد غير معين من الحدود). تُعبر عن المتتالية عادةً بالصيغة:

(un)(un​)
حيث unun​ هو الحد العام للمتتالية، و $n$ هو رقم الحد (مثلاً: u1,u2,u3,…u1​,u2​,u3​,…).

أنواع المتتاليات العددية:

1. المتتالية الحسابية:

   • التعريف: متتالية يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. هذا الفرق يُسمى “الفرق المشترك” ويرمز له بـ $d$.

   • الصيغة العامة:

     un=u1+(n−1)dun​=u1​+(n−1)d

   • مثال: المتتالية $2,5,8,11,\dots$ حيث $d=3$.

2. المتتالية الهندسية:

   • التعريف: متتالية يكون ناتج قسمة أي حد على الحد السابق له ثابتًا. هذا الناتج يُسمى “النسبة المشتركة” ويرمز له بـ $q$.

   • الصيغة العامة:

     un=u1⋅qn−1un​=u1​⋅qn−1

   • مثال: المتتالية $3,6,12,24,\dots$ حيث $q=2$.

3. المتتالية التكرارية:

   • التعريف: متتالية يُعرف فيها كل حد بناءً على الحدود السابقة له.

   • مثال: متتالية فيبوناتشي $0,1,1,2,3,5,8,\dots$ حيث un=un−1+un−2un​=un−1​+un−2​.

4. المتتالية الثابتة:

   • التعريف: متتالية تكون جميع حدودها متساوية.

   • مثال: المتتالية $4,4,4,4,\dots$.

خصائص المتتاليات العددية:

1. الحد العام: صيغة تعبر عن قيمة أي حد في المتتالية بدلالة موقعه $n$.

2. النهاية: في المتتاليات غير المحدودة العدد، يمكن دراسة سلوك المتتالية عندما $n$ يصبح كبيرًا جدًا.

   • إذا كانت المتتالية تقترب من قيمة محددة، نقول إنها متقاربة.

   • إذا كانت لا تقترب من قيمة محددة، نقول إنها متباعدة.

3. المتتالية المتزايدة والمتناقصة:

   • متزايدة: إذا كان un+1>unun+1​>un​ لكل $n$.

   • متناقصة: إذا كان un+1<unun+1​<un​ لكل $n$.

تطبيقات المتتاليات العددية:

• في الرياضيات: دراسة السلوك العددي والتحليل الرياضي.

• في الفيزياء: نمذجة الظواهر الطبيعية مثل الحركة والتذبذبات.

• في الاقتصاد: تحليل النمو الاقتصادي والفائدة المركبة.

• في علوم الحاسوب: خوارزميات التعامل مع السلاسل والبيانات.